Ta có: \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-abc+\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\le1-abc\le1\)

Mà \(\hept{\begin{cases}b\ge b^2\\c\ge c^3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)\le1-abc\le1\)

Có :

( 1 - a ) ( 1 - b ) ( 1 - c ) ≥ 0 ( do a,b,c thuộc [0;1] )

\(\Leftrightarrow\)1 - a - b - c +ab + bc + ca- abc ≥ 0

\(\Leftrightarrow\) a + b + c - ab - bc -ca \(\le\) 1 - abc

Do a,b,c thuộc [0;1] nên b^2\(\le\)b; c³ \(\le\)c và abc \(\le\) 1

Suy ra 1\(\ge\)1 - abc \(\ge\) a + b + c -ab - bc - ca  \(\ge\)a + b² + c³ -ab - bc - ca

Dấu bằng xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số bằng 1. ( tự thay )

Vì a, b, c thuộc đoạn (0,1) nên 1- a, 1 - b, 1 - c \(\ge\)0.

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\ge0\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\left(đpcm\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi có 1 số bằng 1, 2 số còn lại bằng 0

À thêm nx b<b^2, c<c^3 vì thuộc  (0,1). Thay vào kết quả trên ta có đpcm

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(0\le a\le b\le c\le1\)

\(\Rightarrow\left(1-c\right)\left(b-a\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow b-a-bc+ac\ge0\Leftrightarrow ac+b\ge a+bc\)

\(\Leftrightarrow ac+b+1\ge a+bc+1\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{ac+b+1}\le\dfrac{a}{a+bc+1}\)(1)

ta cũng có : \(\left(1-b\right)\left(c-a\right)\ge0\Leftrightarrow ab+c\ge a+bc\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+bc+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{ab+c+1}\le\dfrac{b}{a+bc+1}\) mà \(b\le c\le1\)

nên \(\dfrac{b}{a+bc+1}\le\dfrac{bc}{a+bc+1}\) \(\Rightarrow\dfrac{b}{ab+c+1}\le\dfrac{bc}{a+bc+1}\)(2)

ta lại có : \(\dfrac{c}{a+bc+1}\le\dfrac{1}{a+bc+1}\)(3)

Cộng Ba vế BĐT (1) (2) (3) lại với nhau ta có

\(\dfrac{a}{1+b+ac}+\dfrac{b}{1+c+ab}+\dfrac{c}{1+a+bc}\le\dfrac{a+bc+1}{a+bc+1}=1\)

không cần giả sử gì hết , phang luôn \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\) (:V)

\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow VT\le\sum\dfrac{b}{a+b+c}=1\)

Dấu = xảy ra : 2 số bằng 1 , số còn lại tùy ý

Mở rộng : \(\forall a,b,c\in\left[0;1\right]\).Cmr:

\(\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{c+a+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)

( Olympic USA 1980 )

Ta có: \(1-a\ge0\Leftrightarrow a\le1\Leftrightarrow a+b-b+c-c\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b+c}\ge\frac{a}{1+b+c}\left(1\right)\)

Tương tự: \(1-b\ge0\Leftrightarrow b\le1\Leftrightarrow b+a-a+c-c\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+c+a\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b+c}\ge\frac{b}{1+c+a}\left(2\right)\)

Và: \(1-c\ge0\Leftrightarrow c\le1\Leftrightarrow c+a-a+b-b\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+a+b\)

\(\Leftrightarrow\frac{c}{a+b+c}\ge\frac{c}{1+a+b}\left(3\right)\)

Cộng (1)(2) và (3) vế theo vế:

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\ge\frac{a}{1+b+ac}+\frac{b}{1+c+ab}+\frac{c}{1+a+bc}\)

ĐPCM

bạn ơi, bạn xem lại đi. Mẫu của bạn là 1+b+c chứ đâu phải là 1+b+ac. Mấy cái khác cũng thế

Câu 1: A

Câu 2: B

Câu 3: C

Câu 4: A

Câu 5: D

Câu 2: 

a: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

b: Xét ΔMBC và ΔNCB có

MB=NC

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)

BC chung

Do đó: ΔMBC=ΔNCB

Suy ra: \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)

hay ΔIBC cân tại I